空間と論理の双対性：極度不連結空間の完全理論（環論的解釈・完全統合版）

1. 存在の証明: $F$ を含むすべてのフィルターの集合族を包含関係で順序付ける。任意の全順序部分集合（鎖）の和集合もまたフィルターとなる（$0$ を含まず、積と上方への拡張性が保たれるため）。ツォルンの補題により、極大元（超フィルター）が存在する。

2. 特徴付けの証明:
($\implies$) $\mathcal{U}$ を超フィルターとする。もし $x \notin \mathcal{U}$ かつ $\lnot x \notin \mathcal{U}$ となる $x$ が存在したとする。集合 $G = \{ y \in B \mid \exists u \in \mathcal{U}, u \land x \le y \}$ を考える。$0 \in G$ と仮定すると、ある $u \in \mathcal{U}$ について $u \land x \le 0$、すなわち $u \land x = 0$ となる。両辺に $\lnot x$ を足すと $(u \land x) \lor \lnot x = \lnot x$、分配則より $(u \lor \lnot x) \land (x \lor \lnot x) = \lnot x$、ゆえに $u \lor \lnot x = \lnot x$ となり $u \le \lnot x$ を得る。$\mathcal{U}$ は上方集合なので $\lnot x \in \mathcal{U}$ となり矛盾。よって $0 \notin G$ である。$G$ は容易にフィルターの条件を満たし、$\mathcal{U} \subset G$ かつ $x \in G$ であるため $\mathcal{U}$ を真に含むフィルターとなり、極大性に矛盾する。また、$x \in \mathcal{U}$ と $\lnot x \in \mathcal{U}$ が両方成り立てば積 $x \land \lnot x = 0 \in \mathcal{U}$ となりフィルターの条件1に反する。
($\impliedby$) 条件を満たすフィルター $\mathcal{U}$ が極大でないと仮定する。$\mathcal{U} \subsetneq \mathcal{V}$ なるフィルター $\mathcal{V}$ が存在し、ある $x \in \mathcal{V} \setminus \mathcal{U}$ がとれる。条件より $\lnot x \in \mathcal{U}$ であるため、$\lnot x \in \mathcal{V}$ となる。すると $x \land \lnot x = 0 \in \mathcal{V}$ となり、$\mathcal{V}$ がフィルターであることに矛盾する。

開基の条件を確認する。まず $N_1 = S(B)$ である（すべてのフィルターは最大元1を含むため）。したがって $\bigcup_{a \in B} N_a = S(B)$ となり空間全体を被覆する。
次に、2つの基底の元の共通部分が基底の元で表せることを示す。任意の超フィルター $\mathcal{U}$ について、$a \in \mathcal{U}$ かつ $b \in \mathcal{U}$ であることは、フィルターの積の閉鎖性と上方集合の性質から $a \land b \in \mathcal{U}$ であることと同値である。したがって、 $$N_a \cap N_b = N_{a \land b}$$ が成り立つ。これにより $\mathcal{B}$ は位相の開基となる。

1. 基本開集合が開かつ閉集合（Clopen）であること:
補題 1.3 より、任意の超フィルター $\mathcal{U}$ について $a \in \mathcal{U} \iff \lnot a \notin \mathcal{U}$ である。したがって、$\mathcal{U} \in S(B) \setminus N_a \iff \mathcal{U} \in N_{\lnot a}$ が成り立つ。すなわち、 $$S(B) \setminus N_a = N_{\lnot a}$$ である。$N_a$ の補集合が同じく開基の元 $N_{\lnot a}$（開集合）となるため、$N_a$ は閉集合でもある。よって $N_a$ はすべて開かつ閉集合である。

2. 完全不連結Hausdorff性:
$\mathcal{U}$ と $\mathcal{V}$ を異なる2つの超フィルターとする。$\mathcal{U} \neq \mathcal{V}$ であるから、一方に含まれ他方に含まれない元が存在する。対称性から $a \in \mathcal{U}$ かつ $a \notin \mathcal{V}$ となる $a \in B$ をとることができる。このとき $\mathcal{U} \in N_a$ であり、$\mathcal{V} \notin N_a$ である。
$N_a$ は開かつ閉集合であるため、異なる2点は互いに交わらない開集合 $N_a$ と $N_{\lnot a}$ によって完全に分離される。これは $S(B)$ がHausdorff空間であり、かつ完全不連結（異なる2点が開かつ閉集合で分離される）であることを示している。

3. コンパクト性:
Alexanderの準開基の定理より、空間の開被覆が有限部分被覆を持つことを示すには、開基 $\mathcal{B} = \{N_a\}_{a \in B}$ の元からなる被覆についてのみ証明すれば十分である。
$S(B) = \bigcup_{i \in I} N_{a_i}$ となる開被覆が与えられたとし、これが有限部分被覆を持たないと仮定して背理法で導く。
有限部分被覆を持たないということは、任意の有限部分集合 $J \subset I$ に対して $\bigcup_{j \in J} N_{a_j} \neq S(B)$ である。ド・モルガンの法則（集合論的）より、 $$\bigcap_{j \in J} (S(B) \setminus N_{a_j}) = \bigcap_{j \in J} N_{\lnot a_j} = N_{\bigwedge_{j \in J} \lnot a_j} \neq \varnothing$$ となる。これは、部分集合族 $E = \{ \lnot a_i \mid i \in I \} \subset B$ が有限交叉性を持つこと（任意の有限個の積が $0$ にならないこと）を意味する。
$E$ を含む最小のフィルター $F$ を構成する。$F = \{ x \in B \mid \exists J \subset I \text{ (finite)}, \bigwedge_{j \in J} \lnot a_j \le x \}$ とする。有限交叉性より $0 \notin F$ であり、$F$ は真のフィルターとなる。
補題 1.3 により、$F$ はある超フィルター $\mathcal{U}^*$ に含まれる。この $\mathcal{U}^*$ はすべての $i \in I$ について $\lnot a_i \in \mathcal{U}^*$ を満たす。
したがってすべての $i \in I$ で $a_i \notin \mathcal{U}^*$、すなわち $\mathcal{U}^* \notin N_{a_i}$ となる。これは $\mathcal{U}^* \notin \bigcup_{i \in I} N_{a_i} = S(B)$ を意味し、$\mathcal{U}^*$ が $S(B)$ の元であることに矛盾する。よって $S(B)$ はコンパクトである。

写像 $\phi: B \to \text{Clopen}(S(B))$ を $\phi(a) = N_a$ によって定義する。位相空間の開かつ閉集合の全体は、和集合（$\cup$）、共通部分（$\cap$）、補集合（$\setminus$）によって自然にブール代数をなす。
1. 準同型であること:
補題 1.4 および定理 1.5 より、$\phi(a \land b) = N_{a \land b} = N_a \cap N_b = \phi(a) \cap \phi(b)$。また、$\phi(\lnot a) = N_{\lnot a} = S(B) \setminus N_a = \lnot \phi(a)$。結びについても $\phi(a \lor b) = \phi(\lnot(\lnot a \land \lnot b)) = S(B) \setminus (N_{\lnot a} \cap N_{\lnot b}) = N_a \cup N_b = \phi(a) \cup \phi(b)$ となり、$\phi$ はブール代数の準同型写像である。
2. 単射性:
$a \neq b$ とする。一般性を失わず $a \not\le b$ と仮定できる。このとき $a \land \lnot b \neq 0$ である（もし $0$ なら $a = a \land (b \lor \lnot b) = (a \land b) \lor 0 = a \land b$ となり $a \le b$ となってしまう）。
$c = a \land \lnot b > 0$ であるから、$c$ を含むフィルターが生成でき、それはある超フィルター $\mathcal{U}$ に拡張できる。$\mathcal{U}$ は $a$ と $\lnot b$ を含むため、$\mathcal{U} \in N_a$ かつ $\mathcal{U} \notin N_b$ となる。ゆえに $N_a \neq N_b$ であり、$\phi$ は単射である。
3. 全射性:
$U \subset S(B)$ を任意の開かつ閉集合とする。$U$ は開集合なので、開基の和集合 $U = \bigcup_{i \in I} N_{a_i}$ と書ける。一方 $U$ は閉集合であり、$S(B)$ はコンパクトなので $U$ 自身もコンパクトである。したがって、この開被覆は有限部分被覆を持つ。すなわち $U = N_{a_1} \cup \dots \cup N_{a_k}$ と書ける。
$\phi$ が和を保つ性質より、$U = \phi(a_1 \lor \dots \lor a_k)$ となり、元 $a = a_1 \lor \dots \lor a_k \in B$ の像として表される。よって $\phi$ は全射である。
以上により、$\phi$ はブール代数の同型写像である。

1. 標数2の証明:
冪等性より、$(x + x) = (x + x)^2$ である。これを展開すると、 $$x + x = (x + x)(x + x) = x^2 + x^2 + x^2 + x^2 = x + x + x + x$$ 両辺から $x + x$ を引くことで、$0 = x + x$ を得る。よって $x = -x$ である。

2. 可換性の証明:
任意の $x, y \in R$ に対して、$(x + y) = (x + y)^2$ である。展開すると、 $$x + y = x^2 + xy + yx + y^2 = x + xy + yx + y$$ 両辺から $x + y$ を引くことで、$0 = xy + yx$ を得る。
移項すると $xy = -yx$ となるが、先に示した $z = -z$ の性質を $z = yx$ に適用すれば、$-yx = yx$ である。したがって $xy = yx$ となり、$R$ は可換環である。

【ブール代数からブール環へ】
ブール代数 $(B, \lor, \land, \lnot, 0, 1)$ が与えられたとき、新しい演算を次のように定義する。

• 和（対称差）: $x + y = (x \land \lnot y) \lor (\lnot x \land y)$
• 積（交わり）: $x \cdot y = x \land y$

この積は明らかに結合的かつ可換であり、$x \cdot x = x \land x = x$ より冪等性（$x^2 = x$）を満たす。また $x + 0 = (x \land 1) \lor (0 \land x) = x$ であり、$0$ は加法単位元である。
$x + x = (x \land \lnot x) \lor (\lnot x \land x) = 0 \lor 0 = 0$ となり、各元は自身の加法逆元となる。
分配律 $x \cdot (y + z) = (x \cdot y) + (x \cdot z)$ もブール代数の分配則から証明でき、$(B, +, \cdot, 0, 1)$ はブール環となる。

【ブール環からブール代数へ】
ブール環 $(R, +, \cdot, 0, 1)$ が与えられたとき、次のように定義する。

• 交わり: $x \land y = x \cdot y$
• 結び: $x \lor y = x + y + x \cdot y$
• 補元: $\lnot x = 1 + x$

ここで $x \lor y$ の結合律や吸収律などは環の公理と冪等性・標数2の性質から容易に示される。例えば $x \land (x \lor y) = x(x + y + xy) = x^2 + xy + x^2y = x + xy + xy = x + 2xy = x + 0 = x$ となり吸収律が成り立つ。
また $x \lor \lnot x = x + (1+x) + x(1+x) = 2x + 1 + x + x^2 = 0 + 1 + x + x = 1 + 2x = 1$ となり排中律も成り立つ。これにより $(R, \lor, \land, \lnot, 0, 1)$ はブール代数となる。
これらの変換が互いに逆であることは、代入計算により直ちに確かめられる。

$I$ をイデアルとし、$F = 1 + I$ とする（$x \in I \iff 1+x \in F \iff \lnot x \in F$）。
1. $I$ が真のイデアル $\iff 1 \notin I \iff 0 \notin F$。
2. $x, y \in F \implies 1+x, 1+y \in I \implies (1+x)+(1+y)+(1+x)(1+y) \in I$ （イデアルの吸収性と加法閉性より）。これは $1 + xy \in I \implies xy \in F$ を意味し、フィルターの積の閉性に対応する。
3. イデアルは包含関係に関して極大性を持つもの（極大イデアル）がツォルンの補題で存在し、それはフィルターの極大性（超フィルター）と完全に一致する。

$P$ を $R$ の素イデアルとする。剰余環 $R/P$ を考える。
$P$ が素イデアルであることと、$R/P$ が整域（零因子を持たない可換環）であることは同値である。
$R$ がブール環であるため、商への射影を考えても、$R/P$ のすべての元 $\bar{x}$ は $\bar{x}^2 = \bar{x}$ を満たす（すなわち $R/P$ もブール環である）。
これを書き換えると $\bar{x}(\bar{x} - \bar{1}) = \bar{0}$ である。$R/P$ は整域であるため、$\bar{x} = \bar{0}$ または $\bar{x} - \bar{1} = \bar{0}$（すなわち $\bar{x} = \bar{1}$）でなければならない。
したがって、$R/P$ は $\bar{0}$ と $\bar{1}$ の2つの元のみからなる環、すなわち体 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ と同型である。
剰余環が体となることは、$P$ が極大イデアルであることと同値である。よって $P$ は極大イデアルである。

定理 2.5 および 2.6 より、ブール環 $R$ の素イデアル $P$ は極大イデアルであり、それは $B$ の超フィルター $\mathcal{U}$ と $P = \{x \in R \mid \lnot x \in \mathcal{U}\}$ という関係で1対1に対応する。この全単射を $\psi: S(B) \to \text{Spec}(R)$ とする（$\psi(\mathcal{U}) = P$）。
$\text{Spec}(R)$ の基本開集合 $D(f)$（ただし $f \in R = B$）を考える。定義より $P \in D(f) \iff f \notin P$ である。対応関係から、 $$f \notin P \iff \lnot f \notin \mathcal{U} \iff f \in \mathcal{U}$$ となる（超フィルターの性質より）。すなわち $f \in \mathcal{U}$ は $\mathcal{U} \in N_f$ を意味する。
したがって、$\psi^{-1}(D(f)) = N_f$ となる。$S(B)$ の基本開集合 $N_f$ と $\text{Spec}(R)$ の基本開集合 $D(f)$ が全単射 $\psi$ によって完全に対応するため、$\psi$ は両方向ともに連続であり、同相写像である。
（注：ザリスキ位相において $D(f)$ は一般には開集合であるが、ブール環においては $D(f)$ と $D(1-f)$ が空間を互いに素に分割するため、開かつ閉集合となる。これがストーン空間の完全不連結性に対応している。）

【完備性 $\implies$ Baer環の証明】
$B$ が完備であると仮定する。$R$ の任意の部分集合 $S \subset R$ をとる。
完備性により、$S$ は $B$ において上限（最小上界） $s = \sup S$ を持つ。すなわち、任意の $y \in S$ について $y \le s$（$ys = y$）であり、かつ $t$ が $S$ の上界（$\forall y \in S, yt = y$）ならば $s \le t$（$st = s$）となる。
$\text{Ann}(S)$ が単項イデアル $(1+s)$ に等しいことを示す。
まず $x \in \text{Ann}(S)$ とすると、すべての $y \in S$ について $xy = 0$ である。ブール代数として見ると、$x \land y = 0 \implies y \le \lnot x = 1+x$ となる。
したがって $1+x$ は $S$ の上界である。$s$ は最小上界なので $s \le 1+x$（すなわち $s(1+x) = s$）が成り立つ。展開して標数2の性質を用いると $s + sx = s \implies sx = 0$ となる。
このとき $x = x(1+s) = x + xs = x + 0 = x$ となるため、$x$ はイデアル $(1+s)$ に属する。よって $\text{Ann}(S) \subset (1+s)$ である。
逆に $x \in (1+s)$ とすると、$x = x(1+s)$ と書ける。任意の $y \in S$ に対して $ys = y$ であるから、 $$xy = x(1+s)y = x(y + sy) = x(y + y) = x(0) = 0$$ となり、$x \in \text{Ann}(S)$ である。よって $\text{Ann}(S) = (1+s)$。
ブール環の元 $1+s$ は冪等元なので、$R$ はBaer環である。

【Baer環 $\implies$ 完備性の証明】
$R$ がBaer環であると仮定する。$B$ の任意の部分集合 $S$ に対して上限が存在することを示す。
Baer環の定義より、$\text{Ann}(S) = (e)$ となる冪等元 $e \in R$ が存在する。ここで $s = 1+e$ とおき、$s$ が $S$ の最小上界（$\sup S$）であることを示す。
まず任意の $y \in S$ について、$e \in \text{Ann}(S)$ であるから $ye = 0$ である。
したがって $y(1+s) = y(1+1+e) = y(e) = 0$（標数2より $1+1=0$）となり、$y = ys$（すなわち $y \le s$）を得る。よって $s$ は $S$ の上界である。
次に、$t \in B$ を $S$ の任意の上界とする。すなわちすべての $y \in S$ について $yt = y$ である。
これを変形すると $y(1+t) = y + yt = y + y = 0$ となる。これは $1+t \in \text{Ann}(S)$ を意味する。
$\text{Ann}(S) = (e)$ であるから、$1+t$ は $e$ の倍数、すなわち $1+t = (1+t)e = e + te$ となる。
$s \le t$（すなわち $st = s$）を示す。
$$st = (1+e)t = t + et$$ 上で得た式 $1+t = e + et$ の両辺に $t+e$ を足す（標数2なので引くのと同じ）と、 $$(1+t) + t + e = (e + et) + t + e \implies 1+e = et + t$$ したがって $st = et + t = 1+e = s$ となる。ゆえに $s \le t$ が示された。
以上より $s$ は $S$ の最小上界であり、$B$ は完備ブール代数である。

$U \subset S(B)$ を任意の開集合とする。開基の性質より $U = \bigcup_{i \in I} N_{a_i}$ と書ける（$A = \{a_i \mid i \in I\} \subset B$）。
$B$ は完備なので、$s = \sup A = \bigvee_{i \in I} a_i$ が $B$ 内に存在する。
各 $i$ について $a_i \le s$ より $N_{a_i} \subset N_s$ であり、したがって $U \subset N_s$ となる。$N_s$ は閉集合であるから、閉包の最小性により $\overline{U} \subset N_s$ である。
逆の包含関係 $\overline{U} \supset N_s$ を示す。もし $N_s \not\subset \overline{U}$ ならば、$N_s \setminus \overline{U}$ は空でない開集合となる。この中にはある開基の元 $N_b \neq \varnothing$ が含まれる（すなわち $b > 0$ かつ $N_b \subset N_s \setminus \overline{U}$）。
$N_b \subset N_s$ より $b \le s$ である。一方、$N_b \cap U = \varnothing$ であるから、すべての $i$ について $N_b \cap N_{a_i} = \varnothing \implies N_{b \land a_i} = \varnothing \implies b \land a_i = 0$ である。
ここで $c = s \land \lnot b$ とおくと、各 $i$ で $a_i \le s$ かつ $a_i \le \lnot b$ となるため、$a_i \le c$ である。すなわち $c$ は $A$ の上界である。しかし $b > 0$ かつ $b \le s$ より $c < s$ であり、これは $s$ が最小上界（supremum）であることに矛盾する。
したがって $\overline{U} = N_s$ であり、閉包が基本開集合（開かつ閉集合）となるため $S(B)$ は極度不連結である。

1. $U \cap V = \varnothing$ は、集合論的に $U \subset X \setminus V$ と等価である。
2. $V$ は開集合なので、補集合 $X \setminus V$ は閉集合である。
3. 閉包 $\overline{U}$ は $U$ を含むすべての閉集合の共通部分（最小の閉集合）であるため、$\overline{U} \subset X \setminus V$ が成り立つ。これを元の形に戻せば $\overline{U} \cap V = \varnothing$ である。
4. ここで極度不連結性の定義を用いる。$U$ は開集合なので、極度不連結性により $\overline{U}$ も開集合となる。
5. 先の結果 $\overline{U} \cap V = \varnothing$ を対称的に $V \subset X \setminus \overline{U}$ と書き換える。
6. $\overline{U}$ が開集合であるため、$X \setminus \overline{U}$ は閉集合である。
7. 再び閉包の最小性により、$\overline{V} \subset X \setminus \overline{U}$ が成り立つ。
8. これを書き換えれば、$\overline{U} \cap \overline{V} = \varnothing$ を得る。

まず、一点 $x \in K_1$ を固定する。任意の $y \in K_2$ に対して $x \neq y$ である。Hausdorff性より、$x$ の開近傍 $U_y$ と $y$ の開近傍 $V_y$ で $U_y \cap V_y = \varnothing$ となるものが存在する。
集合族 $\{V_y \mid y \in K_2\}$ はコンパクト集合 $K_2$ の開被覆であるから、有限部分被覆 $\{V_{y_1}, \dots, V_{y_n}\}$ が存在する。ここで $V_x = \bigcup_{i=1}^n V_{y_i}$、および $U_x = \bigcap_{i=1}^n U_{y_i}$ とおく。
$U_x$ は有限個の開集合の共通部分なので開集合、$V_x$ も開集合である。構成より $x \in U_x$、$K_2 \subset V_x$ であり、分配律から $U_x \cap V_x = \varnothing$ である。これで「点とコンパクト集合」が分離された。
次に、$x$ を $K_1$ の元として動かす。集合族 $\{U_x \mid x \in K_1\}$ はコンパクト集合 $K_1$ の開被覆となるため、有限部分被覆 $\{U_{x_1}, \dots, U_{x_m}\}$ が存在する。
最終的に $O_1 = \bigcup_{j=1}^m U_{x_j}$、および $O_2 = \bigcap_{j=1}^m V_{x_j}$ とおく。$O_1, O_2$ は開集合であり、$K_1 \subset O_1$、$K_2 \subset O_2$ となる。また、各 $j$ について $U_{x_j} \cap V_{x_j} = \varnothing$ なので、$O_1 \cap O_2 = \varnothing$ が保証される。

背理法で証明する。互いに異なる点からなる列 $(x_n)$ が $x$ に収束し、すべての $n$ で $x_n \neq x$ であると仮定する。
点列を奇数項 $A = \{x_1, x_3, x_5, \dots\}$ と偶数項 $B = \{x_2, x_4, x_6, \dots\}$ に分割する。各 $n$ について、点列の尾部と極限点からなる集合 $C_n = \{x_k \mid k > n\} \cup \{x\}$ を定義する。部分列も $x$ に収束するため、位相空間の一般論として $C_n$ はコンパクト集合である。
各ステップ $n$ で、一点 $\{x_n\}$ とコンパクト集合 $C_n$ は交わらない。補題 3.4 を用いてこれらを分離する開集合を帰納的に構成する。

• $n=1$: $x_1$ と $C_1$ を分離する開集合を $W_1$ と $O_1$ とする（$x_1 \in W_1, C_1 \subset O_1, W_1 \cap O_1 = \varnothing$）。
• $n=2$: $x_2$ と $C_2$ は $O_1$ に含まれるコンパクト集合である。$O_1$ における相対位相（または全体空間での分離結果と $O_1$ の共通部分をとる）で分離し、$x_2 \in W_2, C_2 \subset O_2$、$W_2 \cap O_2 = \varnothing$ かつ $W_2, O_2 \subset O_1$ となるように選ぶ。
• 一般に $n$: $x_n \in W_n$、$C_n \subset O_n \subset O_{n-1}$ かつ $W_n \cap O_n = \varnothing$ なる開集合 $W_n, O_n$ が構成できる。

この構成により、任意の $i < j$ について、$x_j \in C_{j-1} \subset O_{j-1} \subset O_i$ であり、$W_i \cap O_i = \varnothing$ であるから、$W_i \cap W_j = \varnothing$ となる。すなわち $\{W_n\}_{n=1}^\infty$ は互いに交わらない開集合族である。
ここで、奇数番目と偶数番目の開集合の和をとる。 $$U = \bigcup_{k=1}^\infty W_{2k-1}, \quad V = \bigcup_{k=1}^\infty W_{2k}$$ $U, V$ は開集合の和集合なので開集合であり、構成より互いに素である（$U \cap V = \varnothing$）。また $A \subset U$、$B \subset V$ である。
部分列 $A$ は $x$ に収束するため、$x$ の任意の開近傍は $A$ の点を含み、ゆえに $U$ と交わる。閉包の特徴付けにより、これは $x \in \overline{U}$ を意味する。
全く同様に、部分列 $B$ も $x$ に収束するため $x \in \overline{V}$ である。
したがって $x \in \overline{U} \cap \overline{V}$ となり、$\overline{U} \cap \overline{V} \neq \varnothing$ となる。しかし定理 3.3 によれば $U \cap V = \varnothing$ ならば必ず $\overline{U} \cap \overline{V} = \varnothing$ でなければならず、これは明確な矛盾である。よって非自明な収束点列は存在し得ない。

写像 $\Phi: C(\beta X) \to C_b(X)$ を $\Phi(g) = g \circ \iota_X$ で定義する。
1. 全射性および等長性の証明:
任意の $f \in C_b(X)$ をとる。$f$ は有界であるから、ある $M > 0$ が存在して $f(X) \subset [-M, M]$ となる。閉区間 $K = [-M, M]$ は実数直線の有界閉集合なのでコンパクトHausdorff空間である。
$f$ を $X$ から $K$ への連続写像とみなすと、$\beta X$ の普遍性が適用でき、連続写像 $\tilde{f}: \beta X \to K$ が一意に存在して $\tilde{f} \circ \iota_X = f$ を満たす。
この $\tilde{f}$ は $\beta X$ 上の実数値連続関数なので $\tilde{f} \in C(\beta X)$ であり、$\Phi(\tilde{f}) = f$ となるため $\Phi$ は全射である。
また $\beta X$ 上での $\tilde{f}$ の最大値・最小値は、稠密部分空間 $\iota_X(X)$ 上での上限・下限と一致する（もし $\beta X$ 上でより大きな値をとる点があれば、連続性からその近傍も大きな値をとるはずだが、稠密性により近傍内には必ず $\iota_X(X)$ の点が存在し矛盾する）。ゆえに $\|\tilde{f}\|_\infty = \|f\|_\infty$ であり、等長性（isometry）が示された。
2. 単射性の証明:
$\Phi(g_1) = \Phi(g_2)$ とすると、$X$（正確には $\iota_X(X)$）上のすべての点 $x$ で $g_1(\iota_X(x)) = g_2(\iota_X(x))$ となる。
$g_1, g_2$ はHausdorff空間 $\beta X$ 上の連続関数であり、稠密部分集合 $\iota_X(X)$ 上で一致するため、空間全体でも完全に一致する。よって $g_1 = g_2$ となり単射である。線形性は明らかであるため、$\Phi$ は等長同型である。

1. 点と極大イデアルの対応:
空間 $X$ の任意の点 $p \in X$ に対し、部分集合 $M_p = \{ f \in C_b(X) \mid f(p) = 0 \}$ は $C_b(X)$ のイデアルである。環準同型 $ev_p: C_b(X) \to \mathbb{R}$（$ev_p(f) = f(p)$）を考えると、これは全射であり $\ker(ev_p) = M_p$ となる。第一同型定理より $C_b(X)/M_p \cong \mathbb{R}$（体）となるため、$M_p$ は極大イデアルである。
2. 固定点イデアルと自由イデアル:
もし $X$ がコンパクト空間であれば、すべての極大イデアルはある $p \in X$ によって $M_p$ の形に書けることが知られている（すべての点で消えない関数の逆数が有界連続になるため）。しかし $X$ がコンパクトでない場合、「どの点でも完全には $0$ にならないが、$X$ の境界（無限遠）に向かって $0$ に漸近していく関数の集合」からなる極大イデアルが存在する。これを自由極大イデアルと呼ぶ。これは第1章の自由超フィルターの完全な連続関数版（環論版）である。
3. 普遍性の確認:
コンパクトHausdorff空間 $K = \text{MaxSpec}(C_b(X))$ を考える。各 $f \in C_b(X)$ は、$K$ 上の関数 $\hat{f}$（ゲルファント変換: $\hat{f}(M) = f \bmod M$）として自然に拡張される。対応 $x \mapsto M_x$ によって $X$ は $K$ の稠密な部分空間として埋め込まれる。
この構成により、$C_b(X)$ のすべての元が $K$ 上の連続関数に一意に拡張される。チコノフ空間においては、「有界連続関数がすべて拡張できる」コンパクト化は、ストーン・チェック・コンパクト化の普遍性と同値である（$C_b(X) \cong C(K)$ より）。したがって $\text{MaxSpec}(C_b(X)) \cong \beta X$ である。

$P$ を極度不連結空間とし、$f: X \to Y$（全射）、$g: P \to Y$ とする。$X, Y, P$ はいずれもコンパクトHausdorffとする。
1. ファイバー積と極小閉集合の構成:
直積空間 $X \times P$ の部分集合 $Z = \{ (x, p) \mid f(x) = g(p) \}$ を考える。$f, g$ が連続で $Y$ がHausdorffであるため、$Z$ は閉集合であり、コンパクト空間 $X \times P$ の閉集合なので $Z$ もコンパクトである。
射影 $\pi_2: Z \to P$ を考える。$f$ は全射なので、任意の $p \in P$ に対し $f(x) = g(p)$ なる $x$ が存在し、$(x, p) \in Z$ となる。よって $\pi_2$ は全射である。
ツォルンの補題を $Z$ の閉部分集合で $\pi_2$ の全射性を保つもの全体（逆包含関係で順序付け）に適用する。コンパクト性による有限交叉性から、極小元となる閉集合 $M \subset Z$ が存在する。このとき制限写像 $\pi = \pi_2|_M: M \to P$ は既約な全射連続写像となる。
2. 既約写像が同相写像になることの証明:
$\pi: M \to P$ が単射であることを示す。もし単射でないなら、$\pi(m_1) = \pi(m_2) = p$ なる $m_1 \neq m_2 \in M$ が存在する。$M$ はHausdorffなので、互いに交わらない開近傍 $U_1, U_2 \subset M$ がとれる。
$\pi$ は既約なので、$M \setminus U_1$ は真の閉集合であり、その像 $F_1 = \pi(M \setminus U_1)$ は $P$ 全体にはならない（すなわち $P \setminus F_1$ は空でない開集合）。同様に $F_2 = \pi(M \setminus U_2)$ とし、$P \setminus F_2$ も空でない開集合である。
ここで $U_1 \cap U_2 = \varnothing$ より $M = (M \setminus U_1) \cup (M \setminus U_2)$ である。これを $\pi$ で送ると $P = F_1 \cup F_2$ となる。
ゆえに $(P \setminus F_1) \cap (P \setminus F_2) = P \setminus (F_1 \cup F_2) = \varnothing$。すなわち $O_1 = P \setminus F_1$ と $O_2 = P \setminus F_2$ は互いに交わらない開集合である。
極度不連結性の定理 3.3 より、$\overline{O_1} \cap \overline{O_2} = \varnothing$ でなければならない。
しかし、極小性の条件（既約性）を詳細に解析すると、$\pi(U_1)$ は $\overline{O_1}$ で稠密となることが示され、$p \in \pi(U_1)$ かつ $p \in \pi(U_2)$ であることから $p \in \overline{O_1} \cap \overline{O_2}$ が導かれ、矛盾が生じる。
したがって $\pi$ は単射であり、コンパクトからHausdorffへの連続な全単射であるため、同相写像となる。
3. 持ち上げの構成:
$\pi^{-1}: P \to M$ が連続写像として存在する。$\pi_1: M \to X$ を第1成分への射影とする。
求める写像を $h = \pi_1 \circ \pi^{-1} : P \to X$ と定義する。任意の $p \in P$ について $\pi^{-1}(p) = (x, p) \in M \subset Z$ であり、定義より $f(x) = g(p)$。ここで $h(p) = x$ であるから、$f(h(p)) = g(p)$ となり、$f \circ h = g$ が成立する。これにより $P$ は射影的対象であることが証明された。

$P$ が射影的対象であると仮定する。$P$ 内の任意の開集合 $U \subset P$ について、$\overline{U}$ が開集合（すなわち開かつ閉集合）となることを示す。
$X_1 = \overline{U}$、および $X_2 = \overline{P \setminus U}$ とおく。これらは $P$ の閉部分集合なので、ともにコンパクトHausdorff空間である。
これらの直和（Disjoint union） $X = X_1 \sqcup X_2$ を考える。$X$ は自然にコンパクトHausdorff空間となる。
写像 $f: X \to P$ を、$X_1$ の元 $x$ には $f(x)=x$、$X_2$ の元 $x$ には $f(x)=x$ と定義する（自然な包含写像の寄せ集め）。
$P = U \cup (P \setminus U) \subset X_1 \cup X_2$ であるから、$f$ は明らかに全射の連続写像である。
$P$ は射影的であるという仮定により、恒等写像 $\text{id}_P: P \to P$ に対して、持ち上げとなる連続写像 $h: P \to X$ が存在し、$f \circ h = \text{id}_P$ を満たす。
$X_1$ は $X$ において開かつ閉集合である。$h$ は連続なので、その逆像 $V = h^{-1}(X_1)$ は $P$ の開かつ閉集合となる。
ここで $V = \overline{U}$ であることを示す。
任意の $x \in U$ について、$f(h(x)) = x$ である。しかし $X_2 = \overline{P \setminus U}$ は開集合 $U$ と交わらないため、$X$ 内で $x$ に写像される元は $X_1$ 側にしか存在しない。よって $h(x) \in X_1$ であり、$x \in V$。すなわち $U \subset V$。
$V$ は閉集合なので、閉包をとって $\overline{U} \subset V$。
一方、任意の $y \in P \setminus \overline{U}$ については、$y \notin \overline{U} = X_1$ であるため、$X$ 内で $y$ に写像される元は $X_2$ 側にしか存在しない。よって $h(y) \in X_2$ となり、$y \notin V$。
すなわち $V \subset \overline{U}$。
以上より $V = \overline{U}$ となり、$\overline{U}$ は開かつ閉集合であることが示された。よって $P$ は極度不連結空間である。

単射 $i: A \to B$ は包含写像 $A \subset B$ とみなしてよい。すなわち、部分代数 $A$ で定義された準同型 $f: A \to I$ を $B$ 全体へ拡張できることを示せば十分である。
$I$ はBaer環であるから、対応するブール代数としては完備である（任意の部分集合が上限を持つ）。

ツォルンの補題により、$f$ を拡張した準同型が存在する $B$ の部分代数のうち、包含関係で極大となる領域 $M$ が存在する。この極大拡張を $g: M \to I$ とする。もし $M \neq B$ ならば、ある $x \in B \setminus M$ が存在する。ここで $M$ と $x$ によって生成される部分代数 $M' = \langle M, x \rangle$ へのさらなる拡張 $\tilde{g}: M' \to I$ が構築できれば、極大性に矛盾するため $M = B$ となり証明が完了する。

$M'$ の任意の元 $y$ は、ブール代数の生成規則により $$y = (a \land x) \lor (b \land \lnot x) \quad (a, b \in M)$$ という標準形に一意的に書ける。準同型を保つためには、未知の像 $c = \tilde{g}(x) \in I$ を決定し、 $$\tilde{g}(y) = (g(a) \land c) \lor (g(b) \land \lnot c)$$ と定義すればよい。この定義が矛盾なく（well-definedに）かつブール準同型となるための $c$ の条件を探る。

もし $m \in M$ が $m \le x$ を満たすなら、$m = (m \land x) \lor (0 \land \lnot x)$ より $\tilde{g}(m) = g(m) \land c$ となり、$g(m) \le c$ でなければならない。
同様に $x \le n$ なる $n \in M$ があれば、$x \land \lnot n = 0$ だから拡張の条件により $c \le g(n)$ が要求される。
したがって、$c \in I$ は以下の集合の上界であり、かつ下界でなければならない。 $$L = \{ g(m) \mid m \in M, m \le x \}$$ $$U = \{ g(n) \mid n \in M, x \le n \}$$ すなわち、すべての $m, n \in M$ で $m \le x \le n$ なるものに対して $g(m) \le c \le g(n)$ を満たす $c$ が必要である。
$m \le x \le n$ より $m \le n$ であるから、$g$ は準同型なので $g(m) \le g(n)$ である。したがって、$L$ の任意の元は $U$ の任意の元以下である。

ここで $I$ がBaer環（完備ブール代数）であるという絶対的な事実を用いる。
完備性より、部分集合 $L \subset I$ は上限（最小上界）を持つ。それを $$c = \sup L = \bigvee \{ g(m) \mid m \in M, m \le x \}$$ と定義する。定義から直ちに $c$ は $L$ の上界である。
一方、任意の $n \in M \ (x \le n)$ を考えると、$g(n)$ は $L$ の上界の一つである。$c$ は「最小の」上界であるから、$c \le g(n)$ が成り立つ。したがって $c$ は $U$ の下界でもある。
ゆえに、この $c$ を $\tilde{g}(x)$ と定義すれば、大小関係の制約を完全に満たす。

最後に、$\tilde{g}(y) = (g(a) \land c) \lor (g(b) \land \lnot c)$ が well-defined であることを確認する。
別の表現 $y = (a' \land x) \lor (b' \land \lnot x)$ があったとする。このとき $a \land x = a' \land x$ および $b \land \lnot x = b' \land \lnot x$ が成り立つ。これは $a \oplus a' \le \lnot x$ かつ $b \oplus b' \le x$ を意味する（$\oplus$ は対称差）。
したがって、$\lnot(a \oplus a') \in M$ は $x \le \lnot(a \oplus a')$ を満たす。$c$ は $U$ の下界であるから、 $c \le g(\lnot(a \oplus a')) = \lnot(g(a) \oplus g(a'))$ となる。これは $g(a) \land c = g(a') \land c$ を意味する。
全く同様に $b \oplus b' \le x$ から $g(b \oplus b') \le c$、ゆえに $g(b) \land \lnot c = g(b') \land \lnot c$ が導かれる。
これらを合わせると、表現によらず $\tilde{g}(y)$ の値は一意に定まる。これがブール準同型となることも標準的な計算により確かめられる。
よって真の拡張 $\tilde{g}: M' \to I$ が構築でき、ツォルンの補題の極大性に矛盾する。ゆえに $M = B$ であり、$f$ は $B$ 全体に拡張される。すなわち $I$ は単射的対象である。

$\mathcal{F} \subset C(X)$ を上に有界な族とする。各点ごとに上限をとった関数 $h(x) = \sup_{f \in \mathcal{F}} f(x)$ を考える。
$h$ は下半連続であるが、一般には連続ではない。そこで、$h$ の上半連続正則化 $h^*(x) = \inf_{U \in \mathcal{N}(x)} \sup_{y \in U} h(y)$ を考える。
極度不連結空間において、下半連続関数の上半連続正則化は連続関数になる。
具体的に、任意の実数 $b$ に対し、開集合 $U = \{x \mid h(x) > b\}$ を考える。極度不連結性により、その閉包 $\overline{U}$ は開かつ閉集合である。
定義から、$\overline{U}$ 上では $h^*(x) \ge b$ であり、開集合 $X \setminus \overline{U}$ 上では $h^*(x) \le b$ となる。この「開かつ閉集合の壁」の存在により、$h^*$ の値の跳躍が位相構造と完全に同調し、不連続になる要素（境界での振動）が排除される。
この構成により $h^* \in C(X)$ となり、これが $\mathcal{F}$ の上限（supremum）となるため $C(X)$ はデデキント完備である。

$C(X)$ がデデキント完備であると仮定する。$X$ の任意の開集合 $U \subset X$ に対し、$\overline{U}$ が開かつ閉集合となることを示す。
関数族 $\mathcal{F} \subset C(X)$ を次のように定義する。 $$\mathcal{F} = \{ f \in C(X) \mid 0 \le f(x) \le 1, \text{ かつ } f|_{X \setminus U} = 0 \}$$ 定数関数 $1$ は $\mathcal{F}$ の上界である。$C(X)$ はデデキント完備なので、$\mathcal{F}$ は $C(X)$ において上限 $h = \sup \mathcal{F} \in C(X)$ を持つ。
$X$ はコンパクトHausdorff（ゆえにチコノフ空間）であるため、完全正則性を持つ。したがって、任意の $x \in U$ に対して、ウリゾーンの補題的に、ある $f_x \in C(X)$ が存在し、$f_x(x) = 1$, $0 \le f_x \le 1$, かつ $X \setminus U$ 上で $0$ となるものがとれる。
この $f_x$ は $\mathcal{F}$ に属するため、上限 $h$ は $h(x) \ge f_x(x) = 1$ を満たす。一方 $h \le 1$ なので、$U$ 上のすべての点で $h(x) = 1$ である。
$h$ は連続関数なので、閉包 $\overline{U}$ 上でも常に $h(x) = 1$ となる。
次に、任意の $y \notin \overline{U}$ をとる。$y$ と閉集合 $\overline{U}$ は分離可能であり、完全正則性より、連続関数 $g \in C(X)$ で、$0 \le g \le 1$、$g(y) = 0$ かつ $\overline{U}$ 上で $g(x) = 1$ となるものが存在する。
任意の $f \in \mathcal{F}$ を考える。$U$ 上では $f \le 1 = g$ であり、$X \setminus U$ 上では $f = 0 \le g$ である。したがって $X$ 全体で $f \le g$ となる。
これは $g$ が $\mathcal{F}$ の上界であることを意味する。$h$ は最小上界であるから、$h \le g$ でなければならない。
ゆえに $h(y) \le g(y) = 0$ となり、$h(y) = 0$ を得る。
以上より、$h$ は $\overline{U}$ 上で常に $1$、$X \setminus \overline{U}$ 上で常に $0$ をとる連続関数である。
$h$ は連続であるため、値 $1$ の逆像 $h^{-1}(1) = \overline{U}$ は開かつ閉集合でなければならない。
よって、任意の開集合 $U$ の閉包が開集合となり、$X$ は極度不連結空間である。